оПЕДКЮЦЮЕЛ ЮБРН Я ОПНАЕЦНЛ Б ЙПЕДХР Б лНЯЙБЕ

СЛУШАЕТСЯ ДЕЛО О ПРОКОЛОТОМ ТОРЕ

С у д ь я. Начинается слушание дела. Пожалуйста, изложите свои доводы, мистер Джонс. Перед вами доска на случай, если вы пожелаете сделать какие-либо рисунки.

Д ж о н с. Мой достопочтенный оппонент, доктор Ситус, утверждает, что он вывернул наизнанку автомобильную камеру.

С и т у с (перебивая). После того как проделал сбоку маленькую дырку.

Д ж о н с . Верно. Он хвастает этим, как чем-то удивительным, но я и в самом деле был бы удивлен, если бы он оказался прав. Я считаю, что камера вывернута наизнанку лишь наполовину; взгляните сами (чертит на доске рис. 155).

С у д ь я . Доктор Ситус, не изложите ли вы нам свои доводы?

С и т у с. Мой оппонент, очевидно, введен в заблуждение тем несущественным обстоятельством, что камера имеет теперь вид, указанный на рисунке, где она напоминает оторванную от чашки полую ручку. Очевидно,

torus1.png

Рис. 155.

глядя на рисунок, он не узнал в ней тор. Конечно, камера деформирована и согнута, но топологически она представляет собой тор, хотя и проколотый, каким он и был до инверсии.

С у д ь я . Инверсии?

С и т у с. До выворачивания наизнанку-но термин "инверсия" звучит более красиво (и более научно). Если внимательно изучить представленную на рисунке

torus2.pngtorus3.png


Рис. 156.

фигуру, то можно заметить, что она представляет собой просто тор с длинной, узкой и изогнутой дырой, проходящей по центру того, что мы назвали бы дыркой от бублика. У камеры, представленной на рис.156, внутреннее пространство, где обычно находится сжатый воздух, сплющено и вытянуто. Я могу показать на доске, как из данной формы можно получить более обычную, не разрывая и не склеивая камеру. (Подходит к доске и чертит рис. 156.) Как вы видите, нужно было только немного укоротить ее.

Д ж о н с. И при этом внутренняя, невывернутая часть сводится к тонкому колечку!

С и т у с. (пренебрегая этим выпадом). Мне бы хотелось также обратить внимание на то обстоятельство,

torus4.png torus5.pngtorus6.png

(Не обращайте внимание на пунктирные линии - о них речь пойдет дальше)

Рис. 157.

что камера, с которой я начал, была серой: теперь же она черная! Это произошло потому, что внутренняя поверхность была черной, а теперь черна вся внешняя часть.

torus7.png

Рис. 158.

С у д ь я . Не могли бы вы показать нам, как это делается?

С и т у с (удрученно). О... пожалуйста, если вы настаиваете. (Пожав плечами, он некоторое время борется с рис. 155, напоминая собой статую Лакоона; наконец камера принимает свой первоначальный вид (рис 157, а) -она вся серая.) Ну вот! Я теперь все поясню серией рисунков. (Идет к доске) На рис. 157, б и в

torus8.png torus9.png

а

X между Р и Q

torus10.png

б

Рис 159

Вид с торца

torus11.pngtorus12.png torus13.png



Рис. 160

мы расширяем дыру до тех пор, пока не останется узенький перешеек (рис. 158) Затем мы начинаем заворачивать часть тора назад (рис. 159, а), подобно тому как это делают с голенищем носка, обозначая новую появляющуюся часть внутренней стороны поверхности через Р, а внешнюю сторону поверхности через Q. Даллее мы продолжаем эту операцию (рис. 159, б и в) до тех пор, пока Р не окажется рядом с Q, уменьшая дыру до ее первоначальных размеров. На рис. 160, а изображен вид с торца, и можно заметить, что очертания дыры приняли теперь форму дважды изогнутой жордановой кривой, которую мы вновь начинаем стягиивать (рис. 160,б и в). На рис. 161 мы придали тору его первоначальную форму бублика. Можно заметить, что Р, первоначально расположенное на внутренней стороне поверхности, теперь расположено снаружи, тогда как прямо противоположное произошло с Q. Top вывернут наизнанку.

(х Внутри)

torus14.png


Рис 161.

torus15.png

Рис 162.

Д ж о н с . Я понимаю эти рассуждения вплоть до рис. 159,в, но здесь и следует остановиться, ибо только до этого места вы сможете манипулировать с настоящей камерой. Позвольте мне переделать рис. 159,в, дабы он более соответствовал реальности (или вашему представлению о ней). Он будет выглядеть вот так (чертит рис 162), и внутренняя половина точно такая же, как и вначале! Вы просто назвали ее вывернутой. Все точки на ней, которые раньше смотрели друг на друга, смотрят друг на друга и теперь, а те, которые смотрели в противоположные стороны ..

С и ту с (перебивая) Да, но раньше упомянутые вами точки смотрели внутрь, а теперь они смотрят наружу.

Д ж о н с (идет к доске) Мне кажется, я могу это пояснить. Вот перед нами перчатка (рис. 163,а); допустим, она черная внутри и серая снаружи. Теперь мы начнем выворачивать ее наизнанку. Сначала будем завертывать запястье до тех пор, пока это можно делать (рис. 163,б). Мы замечаем, что пальцы остаются на месте (рис. 164, а). Теперь вытолкнем их наружу(рис. 164,6) все, за исключением среднего пальца. Обратите внимание, джентльмены, что если мы зашьем отверстие у перчатки, то все, что высокоученый доктор иазвал "внешностью", станет теперь черным: но вот как быть со средним пальцем? Вывернули мы его наизнанку или же просто играем словами?

torus16.pngаtorus17.png


Рис. 163.

 

С и т у с. Но это же не тор!

Д ж о н с (хитро). Моему достопочтенному оппоненту нравится топологическая эквивалентность. Могу ли я предположить, что перчатка (после того как мы зашьем у нее отверстие) станет топологически эквивалентна сфере?

torus18.pngtorus19.png

Рис. 164.

Допустим, мы начнем с однопалой перчатки (рис. 165) и пришьем ее кончик к краю отверстия. Затем начнем совершать инверсию, как сказал бы доктор. Продолжим наши действия, но гляньте сюда и внемлите: нам никогда не удастся вывернуть перчатку наизнанку более чем наполовину, даже если мы загоним конец пальца внутрь. Если бы на кончике пальца была небольшая дырка, то мы получили бы фигуру, в точности гомеоморфную автомобильной камере.

С и т у с. И она оказалась бы вывернутой! Джонс, не могу ли я вас попросить уточнить разницу между положением среднего пальца и остальных пальцев на рис. 164, б?

torus20.png torus21.pngtorus22.png



Рис. 165.

C и т у с. Она, мм... Но это же абсурд! Ara! Я знаю в чем дело! (Идет к доске.) Вот перед нами (рис. 166)

torus23.png torus24.png


Рис. 166.

полая проколотая сфера. Сквозь дырку мы можем вы. Вернуть ее наизнанку - вы, конечно, допускаете подобную возможность? Теперь я заклею дыру и вдавлю

torus25.png

Рис. 167.

часть сферы внутрь (рис. 167)-аннулирует ли это таинственным (чтобы не сказать семантическим) образом половину всей инверсии?

Д ж о н с. В данном случае нет. Но ведь мы обсуждаем тор.

С и ту с. Смею ли я спросить, как может некий тор быть более вывернутым наизнанку, чем мой? У него вся некогда внутренняя часть поверхности смотрит теперь наружу.

Д ж о н с. Позвольте. (Берет камеру и начинает манипулировать ножницами и быстро сохнущим клеем.) Я разрезаю камеру поперек (рис. 168, а), затем полностью выворачиваю наизнанку образовавшийся при этом цилиндр (рис. 168,б-г) и вновь склеиваю концы (рис. 168, д). Мне кажется, что мы все согласимся с

torus26.png

Рис. 168.

тем, что полученную фигуру действительно можно назвать вывернутым тором. Он выглядит так же, как и исходный тор, а не как полая ручка от чашки.

С и т у с. В топологии вы не можете апеллировать к внешнему виду: где критерий того, что ваш тор более вывернут, чем мой?

Д ж о н с. Давайте вернемся к вашим собственным рисункам. Мне хотелось бы обратить ваше внимание на один топологический инвариант: зацепленность...

С и т у с. Как! Но это же не ...

С у д ь я. Позднее, доктор, позднее. Продолжайте, мистер Джонс.

Джонс. Две замкнутые кривые, сцепленные между собой, нельзя расцепить с помощью топологической деформации. Я провожу две такие кривые на ваших рисунках (рис. 157-161): одна из них, х, идет вокруг зубчатой части, а другая, у, внутри ее. Обратите внимание, эти кривые сцеплены между собой. Я нарисовал эти кривые на каждом этапе вашей так называемой инверсии, и можно заметить, что в конце они все еще остаются сцепленными!

torus27.pngtorus28.png


Рис. 169.

С и т у с. Ну, и о чем это говорит?

Д ж о н с. В моем случае они расцепляются. (Показывает пунктирные линии на рис. 168.)

С и т у с. Так нечестно! Вы разрезали одну из петель... (Здесь он осекается, так как осознает, что, даже если разрезать петли в его случае, зацепленность не изменится.) Все тривиально: зацепленность не является ивариантом в n-мерном пространстве. Каждому известнo, что именно по этой причине узел не может существовать в пространстве размерности, большей З!

torus29.png torus30.png


Рис. 170.

Д ж о н с. Позвольте мне вернуться к главному аргументу моего оппонента, заключающемуся в том, что я внутренняя сторона поверхности смотрит теперь наружу. Такое утверждение равнозначно тому, что если мы вообразим серию прямых, которые в поперечном сечении выглядят, как на рис. 169, а, то они находятся по соседству с внутренностью нашей поверхности. После манипуляций доктора они будут направлены вовне (Рис. 169,б). Но, я надеюсь, он вспомнит, что рис. 170,а топологически идентичен рис. 170,б, и добавление еще одного измерения позволит совершить нужную деформацию.

С и т у с. Но я же не пользовался четвертым измерением!

Д ж о н с. Не пользовался им и я, когда расцеплял петли.

С и т у с. Может быть, и нет, но вы ранее в ваших собственных аргументах допустили существование этих маленьких отрезков прямых, проведенных радиально от данной поверхности. Когда вы говорили, что половина моего тора осталась "точно такой же, как и вначале", то вы тем самым утверждали, что прямые, направленные друг на друга до инверсии, остались такими же и

torus31.png torus32.png


Рис. 171.

после нее. Но, по вашему собственному мнению, это тривиально с точки зрения топологии. Более того, если покрыть тор в продольном направлении сетью линий (рис. 171, а), то мы обнаружим, что после моей инверсии они будут идти в поперечном направлении (рис. 171,6), разумеется, на обеих сторонах поверхности. Это уже настоящее изменение!

Д ж о н с. Я не понимаю, причем здесь все это. С какой стороны это характеризует выворачивание наизнанку? Я бы сказал, что это означает, что вся ваша деформация была совсем другого сорта! (Они смотрят друг на друга, тяжело дыша )

С у д ь я. Итак, я подведу итоги. В пользу доктора Ситуса говорит следующее: во первых, внутреннюю сторону поверхности он обратил наружу, и я склонен считать, что это именно и понимается обычно под "выворачиванием наизнанку"; во-вторых, топологически говоря, он начал и закончил свои манипуляции тором; наконец, в третьих, он поменял продольную "сетку" на поперечную, С другой стороны, мистер Джонс тоже обратил внутреннюю сторону поверхности наружу, он также начал и закончил свои манипуляции тором и, хотя он и не изменил сетку, зато ему удалось расцепить сцепленные между собой кривые, чего не сумел сделать доктор Ситус. Суд просит присяжных вынести свое решение. (Может быть, читатель присоединится к присяжным и поможет им решить, какой приговор следует вынести. Автор обнаружил, что дискуссия по данному вопросу может заполнить весь вечер - в некотором смысле все дело в определении, хотя это и не делает предмет обсуждения тривиальным, как сказал бы наш уважаемый доктор )