ЭЛЛИПС
Нельзя отрицать, что буквально с первого взгляда круг привлекает нас своей простотой, однако даже самому консервативному астроному достаточно лишь мимолетного знакомства с эллипсом, чтобы убедиться , что идеальная простота круга сродни бессмысленной улыбке идиота. По сравнению со сведениями, которые несет эллипс, круг не дает ничего. Возможно, рассчитывая на физическую простоту Вселенной, мы тоже мыслим окружностями, проецируя свое элементарное мышление на бесконечно запутанный окружающий мир╩,≈писал в своей книге ╚Математика≈царица и служанка науки╩ Эрик Т. Белл.
Математики имеют обыкновение изучать вещи, кажущиеся совершенно бессмысленными, но проходят эти исследования приобретают огромную научную ценность. Вряд ли можно найти лучший пример чем исследование древними греками кривых второго порядка, отличных от окружностей: эллипса, параболы и гиперболы. Первым их начал изучать один из учеников Платона. До XVII века, когда Кеплер открыл, что планеты движутся по эллипсам, а Галилей доказал, что траекторией снаряда является парабола, эти кривые, если можно так выразиться, не находили себе применения.
Аполлоний из Перги, древнегреческий геометр, живший
в III веке до нашей эры, посвятил этим кривым огромнейший трактат. В своей книге
"Конические сечения" он впервые показал, как можно получить все четыре
кривые, включая и окружность, рассекая один и тот же конус плоскостью под разными
углами. Если плоскость пересекает конус параллельно основанию, то получается
окружность (рис. 6, а). Если плоскость немного
наклонена (неважно насколько), то сечение оказывается эллиптическим (рис. 6,б).
Чем сильнее наклоняется плоскость, тем больше вытягивается эллипс, или, как
говорят математики, тем больше возрастает его эксцентриситет. Может показаться,
что с увеличением угла наклона секущей плоскости форма кривой должни приближаться
к грушевидной (потому что чем глубже разрез, тем шире конус), но это не так.
Пока плоскость не станет параллельной образующей конуса, кривая остается точным
эллипсом. Но, как только плоскость оказывается параллельной образующей, кривая
перестает быть замкнутой и две ее ветви устремляются вбесконечность, образуя
параболу (рис. 6, в). Дальнейший наклон плоскости приведет к тому, что она перессчст
второй конус, имеющий с первым общую вершину (рис. 6, г). В этом случае два
конических сеченения представляют собой две ветви гиперболы. (Очень распространена
ошибка, будто для образования гиперболы плоскость непременно должна быть параллельна
оси конуса.) Форма ветвей меняется с изменением наклона плоскости до тех пор,
пока они не выродятся в прямые. Все четыре типа кривых (окружность, эллипс,
парабола и гипербола) называются кривыми второго порядка, потому что в декартовых
координатах они
описываются уравнениями второго порядка с двумя
 |
переменными. После прямой и окружности эллипс является простейшей из всех плоских кривых. Существует много разных определений эллипса, но следующее определение, пожалуй, самое понятное: эллипс есть траектория точки, движущейся в плоскости так, что сумма расстояний до двух фиксированных точек остается пнной. Это определение лежит в основе хорошо известного способа построения эллипса. |
 |
| Рис. 6. Четыре конических сечения. 20 |
Pис. 7. Простейший способ вычерчивания эллипса. |
Воткните в лист бумаги две кнопки, наденьте на них петлю из нитки и натяните ее острием карандаша как показано на рис. 7. Водя карандашом вокруг кнопок, вы нарисуете эллипс. (Длина нитки не может измениться, поэтому сумма расстояний от острия карандаша до кнопок остается постоянной.) Две фиксированные точки (в нашем случае≈кнопки) называются фокусами эллипса. Они лежат на большой оси. Диаметр, перпендикулярный этой оси, называется малой осью. Сближение кнопок без изменения длины нитки уменьшает эксцентриситет эллипса. Если фокусы совпадают, эллипс превращается в окружность. С увеличением расстояния между фокусами эллипс вытягивается до тех пока, наконец, не выродится в прямую.
Эллипс можно начертить и многими другими способами. Для демонстрации одного забавного способа понадобится сковородка и картонный круг диаметром вдвое меньшим диаметра сковороды. Оклейте внутренний борт сковороды материей, чтобы круг при вращении не соскальзывал с него. Полосками клейкой ленты укрепите на дне скопороды лист бумаги. Продырявьте круг о любом месте отточенным концом карандаша до соприкосновения с бумагой и начните катить диск по краю сковороды (рис. 8). На бумаге появится эллипс. Удобно, одной рукой придерживая карандаш, второй медленно катить диск, плотно прижав его к краю сковороды. Если ны проткнете диск в центре, то карандац нарисует окружность. Чем ближе отверстие к краю диска, тем больше эксцентриситет эллипса. Если карандаш стоит на краю диска, эллиптический след вырождается в прямую.
Рис. 8. Эллипсограф из сковороды и картонного круга.
А вот другой, не менее приятный способ вычерчивания эллипса. Вырежьте из бумаги большой круг и в любом его месте, кроме центра, поставьте точку. Сложите круг так, чтобы эта точка оказалась под любой точкой окружности на краю диска. Разогните листок и снова согните, прикрыв точку уже другим местом на окружности. Сделайте так несколько раз, пока вся бумага не покроется сгибами, которые образуют семейство касательных к эллипсу (рис. 9).
 |
|
|
Рис. 9. Если лист бумаги перегибать так, чтобы край его все время проходил через точку, не совпадающую с центром листа, то огибающая линия сгиба будет эллипсом.
|
Г. Дьюдени объясняет, как нарисовать эллипс с помощью нитки и двух булавок и как вычертить тем же способом эллипс с заданными осями.
Сначала следует начертить оси. Затем находят фокусы А и В эллипса, имеющего такие оси. Пусть С будет концом малой оси. Точки А и В расположены симметрично на большой оси, причем так, что отрезки АС и СВ равны каждой половине главной оси. Теперь легко доказать, что с помощью петли, периметр которой равен периметру треугольника АВС, можно построить искомый эллипс.
Хотя эллипс и не столь прост, как окружность, тем не менее он чаще встречается в повседневной жизни. Дело в том, что любая окружность становится эллипсом, если смотреть на нее под углом. Кроме того, все тени, отбрасываемые кругами и шарами, представляют собой элипсы. На самой сфере тени ограничены окружностями большого круга (например, внутренние очертания растущего месяца), но нам они представляются частями эллипсов. Наклоните стакан с водой (стакан можно выбрвть и цилиндрической и конической формы), и вы увидите, что поверхность воды приняла очертания эллипса.
 |
Лежащий на столе мяч (рис. 10) отбрасывает эллиптическую тень, образованную сечением светового конуса, в который вписан шар. Мяч касается стола точно в одном из фокусов эллипса. Представим себе сферу с бОльшим радиусом, которая вписана в тот же конус, но касается стола снизу; тогда точка касания будет вторым фокусом эллипса. Обе сферы служат основой знаменитого доказательства (принадлежащего Ж. Данделену, бельгийскому математику XIX века) того, что в сечении конуса плоскостью действительно получается эллипс. Пусть А≈произвольная точка на поверхности конуса. Через точку А и вершину конуса проведем прямую (жирная прямая на рис. 10), касающуюся сфер в точках D и Е. Соединим прямыми точку А с точками В и С (в которых сферы соприкасаются с плоскостью). Отрезки АВ и АD равны как касательные к сфере, проведенные из одной точки; отрезки АЕ и АС также равны по той же причине. Сложив равные отрезки, получим AD+AE=AB+AC. |
| Рис. 10. С помощью большей сферы нетрудно показать, что тени от меньшей сферы имеет форму эллипса. |
 |
|
| Рис 11. Касательная составляет равные с прямыми, проведенными в точку касания из обоих фокусов эллипса. |
Но АD+АЕ ≈ это просто отрезок DE . Из соображений симметрии длина DЕ должна быть постоянна и не зависеть от положения точки А. Если сумма АD + АЕ постоянна, то из приведенного равенства следует, сумма АВ+АС тоже должна быть постоянной.
АВ и АС≈расстояния от точки А до двух фиксированных точек, поэтому геометрическим местом точек А должен быть эллипс, фокусами которого являются точки В и С.
В физике эллипс появляется как траектория движения материальной точки по замкнутой орбите под действием центральной силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния. Например, планеты и спутники движутся по эллиптическим орбитам с центром тяготения в одном из фокусов. Во времена Кеплера считалось, что бог не может допустить, чтобы планеты обращались по кривым, менее совершенным, чем окружности. Сообщая о своем великом открытии ≈ о том, что гы движутся по эллиптическим орбитам,≈Кеплеру пришлось всячески оправдываться и извиняться. Он считал эллипсы той грязью, с которой ему пришлось возиться, чтобы очистить астрономическую науку от пльшей грязи, накопившейся вокруг попыток сохранить круговые орбиты. Сам Кеплер так никогда и понял, почему орбиты небесных тел имеют форму эллипсов. Объяснить этот факт сумел лишь Ньютон, опиравшиийся на открытый им же закон всемирного тяготения. Даже великий Галилей, имея неопровержимые доказательства. подтверждающие открытие Кеплера, до последних дней не верил в существование орбит, отличных от окружностей.
Отражение от эллипса обладает одним важным свойством, которое становится понятным из рис. 11. Проведем касательную к какой-нибудь точке эллипса. Прямые, соединяющие эту точку с фокусами, образуют равные углы с касательной. Представим себе вертикальную металлическую полоску, ограничивающую эллипс. Если волна или материальная точка выйдет из фокуса и будет двигаться но прямой, то, отразившись от края, они окажется точно во втором фокусе. Более того, двигаясь из фокуса к границе эллипса с постоянной скоростью, тело или волна окажется во втором фокусе через одни и тот же промежуток времени, независимо от первоначального направления движения. Вообразим, что в неглубокий эллиптический бак налита вода. Если опустить палец в то место, где находится фокус эллипса, то через несколько секунд вокруг второго фокуса сойдутся круговые полны.
  |
Льюис Кэррол написал небольшую книжку о круг лом бильярдном столе. В одиннадцатом издании Бри танской энциклопедии в примечании к статье о бильярде читаем: ╚В 1907 году в Англии был для разнообразия введен овальный стол╩. Однако ни у этого стола, ни у круглого стола Льюиса Кэррола лузы не было, и только в июле 1964 года Эдвин Э. Робинсон получил на круглый бильярдный стол с четырьмя лузами. Тогда же в США появилась придуманная Артуром Фриго игра ╚Эллиптипул╩, в которой луза располагалась в одном из фокусов эллиптического стола. На таком столе, ударяя шары о борт, можно все время выигрывать. |
| Рис. 12. Траектория шара на вллиптическом бильярдном столе. с≈шар проходит через фокус эллипса; б≈шпр не проходит между фокусах эллипса; в≈шар проходят между фокусами эллипса. |
Возможны три варианта поведения шара на круглом столе. Если послать шар без закручивания из в любом направлении, то он отразится от края и вернется во второй фокус. Пусть движение шара ничем не замедляется, тогда, отскочив от борта, он каждый раз проходить через фокус (рис. 12, а). Однако после нескольких отскоков траектория шара практически совпадет с главной осью эллипса. Если шар послан не из фокуса, то он никогда не попадет в промежуток между фокусами и будет все время двигаться по прямым, касательным к маленькому внутренему эллипсу с теми же фокусами (рис. 12,6). Если шар запущен между фокусами, то он останется там навсегда и будет перемещаться от борта к борту, никогда не пересекая двух гипербол, фокусы которыхсовпадают с фокусами эллипса.
В поэме ╚Микадо╩ есть строчки, описывающие странный бильярд, на котором пришлось играть герою повествования:
Стол не выстлан сукном,
Кий изогнут крюком,
И шары все на эллипс похожи!
 |
В книге Джеймса Джойса ╚Портрет художника как молодого человека╩ учитель, цитируя эти строки, объясняет, что В. С. Гильберт под эллипсом подразумевал эллипсоид. А что такое эллипсоид? Существуют эллипсоиды трех типов. Эллипсоид вращения, который правильнее назвать сфероидом, представляет собой поверхность, полученную вращением эллипса вокруг одной из осей. Вращение вокруг малой оси порождает сфероид, сплющенный у полюсов, как Земля. В результате вращения покруг большой оси получается вытянутый сфероид, имеющий форму мяча для игры в регби. Представьте себе, что такой эллипсоид имеет зеркальную внутреннюю поверхность. Тогда, поместив в один из фокусов горящую свечу, мы сможем зажечь бумажку находящуюся ио втором фокусе. |
| Рис. 13. Каждое сечение эллип соида имеет форму эллипс |
Знаменитые ╚комнаты шепотов╩ представляют собой помещения с эллипсоидальными потолками. Слабый звук, произнесенный в одном из фокусов, отчетливо слышен во втором. В США наиболее известна галерея шепотов в Скульптурном зале Капитолия, без ее посещения не обходится ни одна экскурсия. Прекрасная комната шепотов, правда меньшего размера, у входа в бар в нижнем этаже Центрального вокзала в Нью-Йорке. Двое людей, стоящих там лицом к стене в дниагонально противоположных углах квадратной площадки хорошо слышат друг друга, даже когда на площадке толпятся люди.
И вытянутый, и сплющенный сфероиды имеют в сечении окружность, если секущая плоскость перпендикулярна одной из трех координатных осей, и эллипс -- если секущая плоскость перпендикулярна двум друим осям. Фигура является настоящим эллипсоидом, если длина всех трех ее осей различна, а сечения в трех перпендикулярных осям плоскостях имеют вид эллипсов (рис. 13). Волны, шлифуя в течение многих лет камни в конце концов придают им почти эллипсоидальную форму.
Головоломок, связанных с эллипсом, немного. Вот две простые задачи.
1. Докажите, что ни один правильный многоугольник с числом сторон, большим, чем у квадрата, нельзя вписать в эллипс так, чтобы его вершины лежали на эллипсе.
2. Сгибая лист бумаги таким образом, как объясняется выше, вы получаете эллипс с фокусами в центре и во внутренней точке круга. Докажите, что огибающая линии сгиба действительно будет эллипсом.
ОТВЕТЫ
1. В эллипс нельзя вписать никакой правильный ильник с числом сторон, большим, чем у квадрата. Дело в том; что вершины всех правильных многоугольников лежат на окружности. Окружность не может пересекаться с эллипсом более чем в четырех точках. Следовательно, не существует правильного многоугольника с числом сторон, большим, чем у квадрата, длинны которого лежали бы на эллипсе.
2. Доказательство того, что при сгибании бумаги действительно получается эллипс, можно провести следующим образом.
Пусть точка А на рис. 14≈любая точка круга, не являющаяся его центром О. Мы сгибаем круг так, чтобы совместить точку А с какой-нибудь точкой окружности. При этом линией сгиба должна быть прямая ХY, которая перпендикулярна АВ и делит отрезок АВ пополам. Отсюда следует, что ВС и АС равны, а поэтому ОС+АС=ОС+СВ. Но отрезок ОС+СВ равен радиусу, который не может меняться, поэтому левая часть равенства ОС+АС тоже должна быть постоянной. Отрезок ОС+АС представляет собой сумму
 |
расстояний от точки С до фиксированных точек А и О, поэтому геометрическим местом точек С (движущихся при перемещении точки В по окружности) должен быть эллипс с фокусами в точках А и О. Линия сгиба XY является касательной к эллипсу в точке С, потому что она образует равные углы с прямыми, проведенными из фокусов в точку С. Это легко установить, заметив, что угол ХСА равен углу ХСВ, который в свою очередь равен углу YСО. Линии сгиба всегда касательны к эллипсу, поэтому эллипс является огибающсй бесконечного множества линий сгиба, которые появляются, когда бумага сгибается много раз. |
| Рис. 14. Ответ к задаче 2. |
Назад, к оглавлению | Назад, к Статье "Диофантов анализ и большая теорема Ферма"